Setelah mempelajariSoal Latihan- Persamaan Diferensial (Dasar), sekarang saatnya kita mempelajari metode untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial (yang selanjutnya disingkat sebagai PD). Metode yang dimaksud adalah metode penyelesaian dengan variabel terpisah. Semoga bermanfaat.
Baca:Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial (Tingkat Dasar)
Today Quote
Apparently, $(1.00)^{365} = 1.00$, but $(1.01)^{365} = 37.7$.
Doing nothing at all Vs. Small consistent effort in a year.
Soal Nomor 1 Pembahasan Diketahui persamaan $xy’ + y = 3$. [collapse]
Tentukan solusi PD $xy’ + y = 3$.
Ubah bentuk penulisan derivatif dan kurangi kedua ruas dengan $y$, diperoleh
$$x~\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 3- y$$Kalikan kedua ruas dengan $\dfrac{\text{d}x}{x(3-y)}$, sehingga diperoleh
$$\dfrac{1}{3-y}~\text{d}y = \dfrac{1}{x}~\text{d}x$$Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian untuk memperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{1}{3-y}~\text{d}y & = \int \dfrac{1}{x}~\text{d}x \\-\ln (3- y) & = \ln x + \ln C = \ln Cx \\\ln (3-y)^{-1} & = \ln Cx \\(3- y)^{-1} & = Cx \end{aligned}$$Jadi, solusi PD tersebut adalah $\boxed{ (3- y)^{-1} = Cx}$
Soal Nomor 2
Tentukan solusi umum persamaan diferensial untuk $y’ + (y-1)\cos x = 0$.
Pembahasan Perhatikan bahwa [collapse]
$\begin{aligned} y’ + (y-1)\cos x & = 0 \\\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}& =-(y-1)\cos x \end{aligned}$
Kalikan kedua ruas dengan $\dfrac{\text{d}x}{y-1}$, sehingga diperoleh
$\dfrac{1}{y-1}~\text{d}y =-\cos x~\text{d}x$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{1}{y-1}~\text{d}y & =- \int \cos x~\text{d}x \\\ln(y-1) & =-\sin x + C \\\ln (y-1) & = \ln e^{C- \sin x} \\y- 1 & = e^{C- \sin x} \\y & = e^{C- \sin x} + 1 \end{aligned}$
Jadi, solusi umum dari PD tersebut adalah $\boxed{y = e^{C- \sin x} + 1}$
Soal Nomor 3
Selesaikan PD $x(y^2- 1)~\text{d}x- y(x^2- 1)~\text{d}y = 0$.
Pembahasan Diketahui $x(y^2- 1)~\text{d}x- y(x^2- 1)~\text{d}y = 0$. [collapse]
Bagi kedua ruas dengan $(y^2-1)(x^2-1)$, sehingga dengan memanfaatkan aljabar, diperoleh
$\dfrac{x}{x^2-1}~\text{d}x- \dfrac{y}{y^2-1}~\text{d}y = 0$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$\displaystyle \int \dfrac{x}{x^2-1}~\text{d}x- \int \dfrac{y}{y^2-1}~\text{d}y = \ln C$
Selesaikan bentuk integral dengan metode substitusi, sehingga didapat
$\dfrac12 \ln (x^2- 1)- \dfrac12 \ln (y^2- 1) = \ln C_1 \bigstar$
Kali kedua ruas dengan $2$, kemudian gunakan sifat logaritma:
$\boxed{^a \log b- \! ^a \log c = \! ^a \log \dfrac{b}{c}}$
sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} \ln \left(\dfrac{x^2-1}{y^2-1}\right) & = \ln C_2~~~\bigstar\bigstar \\\dfrac{x^2-1}{y^2-1} & = C_2 \\x^2- 1 & = C_2(y^2- 1) \end{aligned}$$Jadi, penyelesaiannya adalah $\boxed{x^2- 1 = C(y^2- 1)}$
Catatan:
$\bigstar$ Mengapa hasil integralnya menjadi $\ln C$, bukankah seharusnya $C$? Ini adalah pertanyaan yang sering ditanyakan. Teknik seperti ini disebut manipulasi konstanta, karena $C$ merupakan bilangan real (bebas), jadi berapa pun yang kita ambil sebagai bentuk $C$, hasilnya masih umum. Untuk mempermudah perhitungan/penyederhanaan hasil, kita jadikan saja menjadi$\ln C$.
$\bigstar\bigstar$ Konstanta di sini tidak benar-benar diperhatikan (bahkan bisa dimanipulasi sesuka hati). Karena dibagi $2$, maka bentuk konstantanya berubah, tapi kita hanya perlu mengubah indeksnya saja tanpa membentuk konstanta dengan aturan aritmetik maupun aljabar.
Baca:Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Soal Nomor 4
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut.
$y^2(y+1)~\text{d}x + y^2(y-1)~\text{d}y = 0$
Pembahasan Dari persamaan $y^2(y+1)~\text{d}x + y^2(x-1)~\text{d}y = 0$, bagi kedua ruasnya dengan $y^2(y+1)(x-1)$, sehingga diperoleh persamaan baru yang ekuivalen dengannya, yaitu [collapse]
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x-1}~\text{d}x + \dfrac{1}{y+1}~\text{d}y & = 0 \\ \text{Integralkan kedua ruas}~& \\ \int \dfrac{1}{x-1}~\text{d}x + \int \dfrac{1}{y+1}~\text{d}y & = \ln |C| \\ \ln |x- 1| + \ln |y + 1| & = \ln |C| \\ \ln |(x-1)(y+1)| & = \ln |C| \\ (x-1)(y+1) & = C \end{aligned}$
Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{(x-1)(y+1) = C}$
Soal Nomor 5
Selesaikan PD $\sqrt{1- y^2}~\text{d}x + \sqrt{1- x^2}~\text{d}y = 0$.
Pembahasan Diketahui $\sqrt{1- y^2}~\text{d}x + \sqrt{1- x^2}~\text{d}y = 0$ [collapse]
Kalikan kedua ruas dengan $\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}.\sqrt{1-x^2}}$, diperoleh
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}~\text{d}x +\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}~\text{d}y = 0$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang berpadanan,
$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}~\text{d}x + \int \dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}~\text{d}y = C$
$\arcsin x + \arcsin y = C$
Jadi, penyelesaiannya adalah $\boxed{\arcsin x + \arcsin y = C}$
Baca:Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Eksak
Soal Nomor 6
Selesaikanlah PD $x\sqrt{y^2-1}~\text{d}x + y\sqrt{x^2- 1}~\text{d}y = 0$.
Pembahasan Diketahui $x\sqrt{y^2-1}~\text{d}x + y\sqrt{x^2- 1}~\text{d}y = 0$ [collapse]
Bagi kedua ruas dengan $\sqrt{y^2-1} \times \sqrt{x^2- 1}$, diperoleh
$\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}~\text{d}x + \dfrac{y}{\sqrt{y^2-1}}~\text{d}y = 0$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang berpadanan,
$ \displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}~\text{d}x + \int \dfrac{y}{\sqrt{y^2-1}}~\text{d}y = C$ $\bigstar$
Dengan mengintegralkan bentuk di atas, kita memperoleh penyelesaian akhir, yaitu$\boxed{ \sqrt{x^2-1} + \sqrt{y^2-1} = C}$
Catatan: $\bigstar$ Integral ini dapat ditentukan hasilnya dengan menggunakan metode substitusi tak linear.
Baca Juga:Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri
Soal Nomor 7
Selesaikan PD $x \sin y~\text{d}x + (x^2 + 1)~ \cos y~\text{d}y = 0$.
Pembahasan Diketahui $x \sin y~\text{d}x + (x^2 + 1)~ \cos y~\text{d}y = 0$ [collapse]
Kalikan kedua ruas dengan $\dfrac{1}{(x^2+1)\sin y}$, diperoleh
$ \dfrac{x}{x^2+1}~\text{d}x + \dfrac{\cos y}{\sin y}~\text{d}y= 0$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$ \displaystyle \int \dfrac{x}{x^2+1}~\text{d}x + \dfrac{\cos y}{\sin y}~\text{d}y= 0~~~~\bigstar$
$ \dfrac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + \ln (\sin y) = C$
Jadi, solusi umum dari PD $x \sin y~\text{d}x + (x^2 + 1)~ \cos y~\text{d}y = 0$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + \ln (\sin y) = C}$
(Catatan: $\bigstar$ Anda dianjurkan untuk menguasai teknik-teknik pengintegralan dasar dan fungsi transenden)
Soal Nomor 8
Selesaikan PD $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{x + 3x^2}{y^2}$ untuk $y = 6$ ketika $x = 0$.
Pembahasan Persamaan di atas dapat diubah menjadi [collapse]
$y^2~\text{d}y = (x+3x^2)~\text{d}x$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$y^2~\text{d}y = (x+3x^2)~\text{d}x$
$\dfrac{1}{3}y^3 = \dfrac{1}{2}x^2 + x^3 + C_0$
Kalikan 3 di kedua ruas:
$ y^3 = \dfrac{3}{2}x^2 + 3x^3 + C$
$ y = \sqrt[3]{ \dfrac{3}{2}x^2 + 3x^3 + C}$
Untuk menentukan nilai $C$, substitusikan $y = 6$ dan $x = 0$, sehingga diperoleh
$6 = \sqrt[3]{0 + 0 + C} \iff C = 6^3 = 216$
Jadi, penyelesaiannya adalah
$y = \sqrt[3]{ \dfrac{3}{2}x^2 + 3x^3 + 216}$.
Baca:Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (hom*ogen) dengan Koefisien Konstan
Soal Nomor 9
Selesaikan PD $x\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = y^2 + 1$.
Pembahasan Perhatikan bahwa [collapse]
$\begin{aligned} x\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = y^2 + 1 \\x~dy- (y^2 + 1)\text{d}x & = 0 \\\dfrac{\text{d}y}{y^2 + 1}- \dfrac{\text{d}x}{x} & = 0 \end{aligned}$
Integrasikan kedua ruas,
$\displaystyle \int \dfrac{\text{d}y}{y^2 + 1}- \int \dfrac{\text{d}x}{x} = C$
Selanjutnya, mungkin Anda bertanya bagaimana cara mengintegralkan $\dfrac{dy}{y^2 + 1}$. Ingat kembali materikalkulus integral mengenai substitusi trigonometri. Proses integrasinya disajikan di bawah ini.
Misalkan $y = \tan \alpha$, berarti $\text{d}y = \sec^2 \alpha~d\alpha$ dan $\alpha = \arctan y$
$y^2 + 1 = \tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha$, maka
$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{\text{d}y}{y^2 + 1} & = \int \dfrac{\sec^2 \alpha~ \text{d}\alpha}{\sec^2 \alpha} \\ & = \int ~\text{d}\alpha = \alpha = \arctan y \end{aligned}$
Berarti,
$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{\text{d}y}{y^2 + 1}- \int \dfrac{\text{d}x}{x} & = C \\ \arctan y- \ln |x| & = C \\\ln e^{\arctan y}- \ln x & = \ln e^C \\ \dfrac{e^{\arctan y}}{x} & = e^C \end{aligned}$
Jadi, solusi umumnya adalah $\boxed{\dfrac{e^{\arctan y}}{x} = e^C}$
Soal Nomor 10
Carilah solusi dari PD $xy\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{x+1}{y+1}$.
Pembahasan Perhatikan bahwa PD di atas dapat ditulis kembali menjadi [collapse]
$\begin{aligned} y(y+1)~\text{d}y & = \dfrac{x+1}{x}~\text{d}x \\ (y^2+y)~\text{d}y & = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)~\text{d}x \end{aligned}$
Integrasikan kedua ruas berdasarkan variabel yang bersesuaian,
$\begin{aligned} \displaystyle \int (y^2+y)~\text{d}y & = \int \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)~\text{d}x \\ \dfrac{1}{3}y^3 + \dfrac{1}{2}y^2 + C_1 & = x + \ln |x| + C_2 \\ \dfrac{1}{3}y^3 + \dfrac{1}{2}y^2- x- \ln |x| & = C \end{aligned}$
Jadi, solusi dari PD tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{3}y^3 + \dfrac{1}{2}y^2- x- \ln |x| = C }$
Soal Nomor 11
Secangkir kopi dengan panas $80^{\circ} \text{C}$ ditempatkan di ruangan yang bersuhu $50^{\circ} \text{C}$. Proses pendinginan kopi dalam waktu $t$ menit ditunjukkan dengan $\dfrac{\text{d}x} {\text{d}t} = k(x-50)$. Jika panas kopi selama $5$ menit berubah menjadi $70^{\circ} \text{C}$, maka berapa lama waktu yang dibutuhkan agar suhu kopi menjadi $60^{\circ} \text{C}$?
A. $6~^{\frac{2}{3}} \log \dfrac{1}{3}$ menit
B. $5~^{\frac{1}{3}} \log 3$ menit
C. $5~^{\frac{2}{3}} \log \dfrac{1}{3}$ menit
D. $5~^{\frac{1}{3}} \log \dfrac{2}{3}$ menit
E. $6~^{\frac{1}{3}} \log \dfrac{2}{3}$ menit
Pembahasan Diketahui $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} = k(x- 50)$, maka dapat ditulis [collapse]
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}x}{x- 50} & = k~\text{d}t \\ \text{Integralkan}~&\text{kedua ruas} \\\displaystyle \int \dfrac{\text{d}x}{x- 50} & = \int k~\text{d}t \\ \ln |x- 50| & = kt + C \\ x- 50 & = e^{kt + C} \\ x- 50 & = e^{kt} \times C’ \\ x & = 50 + C’e^{kt} \end{aligned}$
Diketahui $t = 0$ dan $x = 80$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x & = 50 + C’e^{kt} \\ 80 & = 50 + C’e^{0} \\ 80 & = 50 + C’ \\ C’ & = 30 \end{aligned}$
Diketahui $t = 5$ dan $x = 70$, serta $C’ = 30$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x & = 50 + C’e^{kt} \\ 70 & = 50 + 30e^{5k} \\ 20 & = 30^{5k} \\ \dfrac{2}{3} & = e^{5k} \\ e^k & = \left(\dfrac23\right)^{\frac15} \end{aligned}$
Jadi, kita peroleh $x = 50 + 30\left(\dfrac23\right)^{\frac{1}{5}t}$.
Jika $x = 60$, diperoleh
$\begin{aligned} x & = 50 + 30\left(\dfrac23\right)^{\frac{1}{5}t} \\ 60 & = 50 + 30\left(\dfrac23\right)^{\frac{1}{5}t} \\ 10 & = 30\left(\dfrac23\right)^{\frac{1}{5}t} \\ \dfrac{1}{3} & = \left(\dfrac23\right)^{\frac{1}{5}t} \\ \left(\dfrac{1}{3}\right)^5 & = \left(\dfrac23\right)^{t} \\ t & = ^{\frac{2}{3}} \log \left(\dfrac13\right)^5 \\ t & = 5 \cdot ^{\frac{2}{3}} \log \left(\dfrac13\right) \end{aligned}$
Jadi,waktu yang dibutuhkan agar suhu kopi menjadi $60^{\circ} \text{C}$ adalah $\boxed{5 \cdot ^{\frac{2}{3}} \log \left(\dfrac13\right)~\text{menit}}$
(Jawaban C)
Baca:Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Non-hom*ogen) dengan Koefisien Konstan
Soal Nomor 12
Penurunan suhu minyak pada pengolahan hilir minyak kelapa sawit menggunakanbeberapa alat transfer panas, salah satunya adalah Cylinder Heat Economizer (CHE), yang biasanya digunakan untuk menaikkan atau menurunkan suhu minyak sebelum diolah yang suhunya $90^{\circ}\text{C}$ dengan minyak hasil olah yang suhunya $225^{\circ}\text{C}$. Suhu minyak sebelum diolah akan dinaikkan dan suhu minyak hasil olahan akan diturunkan sama-sama menjadi $120^{\circ}\text{C}$.Jika dalam waktu $10$ menit terjadi penurunan suhu sebesar $60^{\circ}\text{C}$ dengan laju penurunan suhu tidaklinear, melainkan eksponsial terhadap waktu, serta suhu yang akan dicapai menjadi terminaltemperatur (suhu yang akan dicapai saat $t$ mendekati tak hingga, $t$ merepresentasikan lama waktu yang dibutuhkan dalam satuan menit), maka berapa kira-kira waktu yang dibutuhkan untuk minyak hasil olah mendekati suhu tersebut? Jelaskan secara matematis. Gambarkan juga sketsa grafik fungsi eksponensialnya.
Catatan: Gunakan kalkulator saintifik dan kalkulator grafik bila diperlukan.
Pembahasan
Permasalahan ini merupakan aplikasi/penerapan persamaan diferensial.
Persamaan diferensial yang merepresentasikan proses penurunan suhu $T$ dalam waktu $t$ menit diwakili oleh
$\dfrac{\text{d}T}{\text{d}t} = k(T-T_0)$
$T_0$ adalah suhu terminal. Berdasarkan soal, diketahui bahwa suhu terminalnya adalah suhu yang hendak dicapai, yaitu $T_0 = 120^{\circ}\text{C}$.
Perhatikan bahwa persamaan $\dfrac{\text{d}T}{\text{d}t} = k(T-120)$ dapat ditulis menjadi
$\dfrac{\text{d}T}{T-120} = k \cdot \text{d}t$
Integralkan kedua ruasnya,
$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{\text{d}T}{T-120} & = \int k~\text{d}t \\ \ln (T-120) & = kt + C \end{aligned}$
Saat $t = 0~\text{menit}$, suhu mula-mulanya adalah $T = 225^{\circ}\text{C}$.
Substitusi nilai ini pada persamaan terakhir untuk memperoleh
$\begin{aligned} \ln (225-120) & = k(0) + C \\ \ln 105 & = C \end{aligned}$
Persamaannya kita tulis ulang menjadi $\ln (T-120) = kt + \ln 105$.
Saat $t = 10~\text{menit}$, suhu berkurang $60^{\circ}\text{C}$ menjadi $T = (225-60)^{\circ}\text{C} = 165^{\circ}\text{C}$.
Substitusi nilai ini pada persamaan untuk memperoleh
$\begin{aligned} \ln (165-120) & = k(10) + \ln 105 \\ \ln 45 & = 10k + \ln 105 \\ 10k & = \ln \dfrac{45}{105} = \ln \dfrac37 \\ k & = \dfrac{\ln \dfrac37}{10} \end{aligned}$
Persamaannya menjadi
$\ln (T-120) = \dfrac{\ln \dfrac37}{10}t + \ln 105$
atau dengan menggunakan definisi logaritma, diperoleh
$T = 120 + e^{\dfrac{\ln \frac37}{10}t + \ln 105}$
Dengan menggunakan aplikasi/kalkulator untuk menggambar grafik, kita peroleh sketsa grafik persamaan tersebut seperti berikut.
Tampak pada grafik bahwa suhu terminal akan tercapai saat $t$ menuju tak hingga, tetapi tentu saja kita tidak mungkin menunggu selama itu untuk menurunkan suhunya agar suhu terminal tercapai.
Dari grafik itu, kita cukup menunggu kurang lebih selama $\boxed{60}$ menit ($1$ jam) agar suhu minyak hasil olah “cukup” mendekati $120^{\circ}\text{C}$.
[collapse]
Soal Nomor 13
Seorang tukang besi memanaskan suatu logam mulia sampai mencapai $200^{\circ}\text{C}$ dengan menggunakan alat kerjanya. Setelah pemanasan usai, ia kemudian membiarkan logam mulia itu di dalam ruangan terbuka dengan suhu ruang $27^{\circ}\text{C}$. Lama kelamaan, suhu logam menurun. Penurunan suhu tersebut tidak linear, melainkan bergerak secara eksponensial terhadap waktu. Dalam waktu $10$ menit, suhu logam menurun menjadi $140^{\circ}\text{C}$. Tentukan rumus fungsi eksponensial yang menyatakan pergerakan turunnya suhu logam $T$ terhadap waktu $t$ (dalam satuan menit).
Pembahasan
Permasalahan ini merupakan aplikasi/penerapan persamaan diferensial.
Persamaan diferensial yang merepresentasikan proses penurunan suhu $T$ dalam waktu $t$ menit diwakili oleh
$\dfrac{\text{d}T}{\text{d}t} = k(T-T_0)$
$T_0$ adalah suhu terminal. Berdasarkan soal, diketahui bahwa suhu terminalnya adalah suhu ruang, yaitu $T_0 = 27^{\circ}\text{C}$.
Perhatikan bahwa persamaan $\dfrac{\text{d}T}{\text{d}t} = k(T-27)$ dapat ditulis menjadi
$\dfrac{\text{d}T}{T-27} = k \cdot \text{d}t$
Integralkan kedua ruasnya,
$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{\text{d}T}{T-27} & = \int k~\text{d}t \\ \ln (T-27) & = kt + C \end{aligned}$
Saat $t = 0~\text{menit}$, suhu mula-mulanya adalah $T = 200^{\circ}\text{C}$.
Substitusi nilai ini pada persamaan terakhir untuk memperoleh
$\begin{aligned} \ln (200-27) & = k(0) + C \\ \ln 173 & = C \end{aligned}$
Persamaannya kita tulis ulang menjadi $\ln (T-27) = kt + \ln 173$.
Saat $t = 10~\text{menit}$, suhu berkurang menjadi $T = 140^{\circ}\text{C}$.
Substitusi nilai ini pada persamaan untuk memperoleh
$\begin{aligned} \ln (140-27) & = k(10) + \ln 173 \\ \ln 113 & = 10k + \ln 173 \\ 10k & = \ln \dfrac{113}{173} \\ k & = \dfrac{\ln \dfrac{113}{173}}{10} \end{aligned}$
Persamaannya menjadi
$\ln (T-27) = \dfrac{\ln \dfrac{113}{173}}{10}t + \ln 173$
atau dengan menggunakan definisi logaritma, diperoleh
$T = 27 + e^{\dfrac{\ln \frac{113}{173}}{10}t + \ln 173}$
Jadi, fungsi eksponensial yang menyatakan proses penurunan suhu logam $T$ terhadap waktu $t$ adalah
$\boxed{T(t) = 27 + e^{\dfrac{\ln \frac{113}{173}}{10}t + \ln 173}}$
[collapse]
